九天雁翎的博客
如果你想在软件业获得成功,就使用你知道的最强大的语言,用它解决你知道的最难的问题,并且等待竞争对手的经理做出自甘平庸的选择。 -- Paul Graham

3D图形编程的数学基础(1)-向量及其计算

因为大学时在高等数学课程中学习过线性代数相关的内容, 所以学习3D编程的时候这一段事实上是跳过去了, 学习到某些内容的时候觉得很郁闷, (4, 5年没有用了, 难免忘掉)最后常常依靠高级API完成, 但是事实上这些高级API的算法具体实现啥的基本看不懂, 于是还是决定回来好好的将基础部分弄明白, 当然, 首先是数学部分. 为了更好的达到直观的效果, 还有在复杂矩阵运算的时候验证运算结果, 将引入MATLAB的使用. 具体牵涉到计算的时尽量实现DirectX与Irrlicht两个版本, 也会参考部分源代码. (主要用于看看公式用C/C++的实现)基本上, 我希望能以概念的讲解为主, 最好是直观的讲解.

目录:

向量

只用大小就能表示的量叫数量, 比如温度, 质量等. 既需要用大小表示, 同时还要指明方向的量叫向量, 比如位移, 速度等. 几何学中, 我们用有向线段来表示向量. 有两个变量可以确定一个向量,即向量的长度和向量的方向. 量与位置无关, 有相同长度和方向的两个向量是相等的. 在irrlicht中有专门的类vector2d,vector3d分别来表示2维的, 3维的向量. 在DirectX中用于表示向量的是结构D3DXVECTOR2, D3DXVECTOR3,D3DXVECTOR4.

左右手坐标系

一图胜前言, 不懂怎么用手扭曲的去比划的看看图, 就明白啥是左手, 啥是右手坐标系了. 在OpenGL中使用的是右手坐标系, DirectX,Irrlicht中使用的是左手坐标系. (图片来自于网络)

左右手坐标系

向量的模

向量的大小(或长度)称为向量的模, 向量a的模记为||a||. 下面以3维的向量(3D中用的最多)为例: 在irrlicht中获取向量模的函数是vector3d的成员函数

//! Get length of the vector.
T getLength() const { return core::squareroot( X*X + Y*Y + Z*Z ); }

//! Get squared length of the vector.
/** This is useful because it is much faster than getLength().
/return Squared length of the vector. */
T getLengthSQ() const { return X*X + Y*Y + Z*Z; }

可以看出公式的实现, 其中getLengthSQ用于某些时候使用不开根号, 直接使用平方值的方法来优化代码.
DirectX中的实现差不多一样, 只是使用的是C风格的接口没有使用C++的类而已.

D3DXINLINE FLOAT D3DXVec3Length( CONST D3DXVECTOR3 *pV )
{
#ifdef D3DX_DEBUG
	if(!pV)
		return 0.0f;
#endif

#ifdef __cplusplus
	return sqrtf(pV->x * pV->x + pV->y * pV->y + pV->z * pV->z);
#else
	return (FLOAT) sqrt(pV->x * pV->x + pV->y * pV->y + pV->z * pV->z);
#endif
}

D3DXINLINE FLOAT D3DXVec3LengthSq( CONST D3DXVECTOR3 *pV )
{
#ifdef D3DX_DEBUG
	if(!pV)
		return 0.0f;
#endif

	return pV->x * pV->x + pV->y * pV->y + pV->z * pV->z;
}

MATLAB中用norm函数取模:

>> a = [1, 1, 1]

a =

     1     1     1

>> b = norm(a)

b =

    1.7321

三维空间中两点的距离

公式:

Irrlich的实现:

//! Get distance from another point.
/** Here, the vector is interpreted as point in 3 dimensional space. */
T getDistanceFrom(const vector3d<T>& other) const
{
	return vector3d<T>(X - other.X, Y - other.Y, Z - other.Z).getLength();
}

//! Returns squared distance from another point.
/** Here, the vector is interpreted as point in 3 dimensional space. */
T getDistanceFromSQ(const vector3d<T>& other) const
{
	return vector3d<T>(X - other.X, Y - other.Y, Z - other.Z).getLengthSQ();
}

也有距离的平方的SQ函数版本.

向量的规范化

向量的规范化也称(归一化)就是使向量的模变为1, 即变为单位向量. 可以通过将向量都除以该向量的模来实现向量的规范化. 规范化后的向量相当于与向量同方向的单位向量, 可以用它表示向量的方向. 由于方向的概念在3D编程中非常重要, 所以此概念也很重要, 单位向量有很多重要的性质, 在表示物体表面的法线向量时用的更是频繁.

基本的公式:

在irrlicht中的调用函数及实现:

//! Normalizes the vector.
/** In case of the 0 vector the result is still 0, otherwise
	the length of the vector will be 1.
	/return Reference to this vector after normalization. */
vector3d<T>& normalize()
{
	f64 length = (f32)(X*X + Y*Y + Z*Z);
	if (core::equals(length, 0.0)) // this check isn't an optimization but prevents getting NAN in the sqrt.
		return *this;
	length = core::reciprocal_squareroot ( (f64) (X*X + Y*Y + Z*Z) );

	X = (T)(X * length);
	Y = (T)(Y * length);
	Z = (T)(Z * length);
	return *this;
}
上述代码中首先计算length以防其为0, 然后直接计算\( \frac{1}{| u   } \), (这样做的目的从代码实现上来看是因为SSE,Nviadia都有可以直接计算此值的能力) 然后再分别与各坐标值进行乘法运算.

DirectX中的API:(无实现可看)

D3DXVECTOR3* WINAPI D3DXVec3Normalize ( D3DXVECTOR3 *pOut, CONST D3DXVECTOR3 *pV );

向量的加减法, 数乘

太简单, 不多描述, 无非就是对应的加, 减, 乘罢了, 几何意义讲一下, 加法可以看做是两个向量综合后的方向, 减法可以看做两个向量的差异方向(甚至可以用于追踪算法), 数乘用于对向量进行缩放.

为了完整, 这里从百度百科拷贝一段资料过来:(以下都是2维的, 放到3维也差不多) 设a=(x, y), b=(x’, y’)

向量的加法

向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则.

AB+BC=AC.

a+b=(x+x’, y+y’).

a+0=0+a=a.

向量加法的运算律:

交换律:a+b=b+a;

结合律:(a+b)+c=a+(b+c).

向量的减法

如果a、b是互为相反的向量, 那么a=-b, b=-a, a+b=0. 0的反向量为0

AB-AC=CB. 即“共同起点, 指向被减”

a=(x,y) b=(x’,y’) 则 a-b=(x-x’,y-y’).

数乘向量

实数λ和向量a的乘积是一个向量, 记作λa, 且∣λa∣=∣λ∣·∣a∣.

当λ>0时, λa与a同方向;

当λ<0时, λa与a反方向;

当λ=0时, λa=0, 方向任意.

当a=0时, 对于任意实数λ, 都有λa=0.

注:按定义知, 如果λa=0, 那么λ=0或a=0.

实数λ叫做向量a的系数, 乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩.

当∣λ∣>1时, 表示向量a的有向线段在原方向(λ>0)或反方向(λ<0)上伸长为原来的∣λ∣倍;

当∣λ∣<1时, 表示向量a的有向线段在原方向(λ>0)或反方向(λ<0)上缩短为原来的∣λ∣倍.

数与向量的乘法满足下面的运算律

结合律:(λa)·b=λ(a·b)=(a·λb).

向量对于数的分配律(第一分配律):(λ+μ)a=λa+μa.

数对于向量的分配律(第二分配律):λ(a+b)=λa+λb.

数乘向量的消去律:① 如果实数λ≠0且λa=λb, 那么a=b. ② 如果a≠0且λa=μa, 那么λ=μ.

点积(dot product)又称数量积或内积

公式:

所以向量的点积结果是一个数, 而非向量.

点积等于向量v0的长度乘以v1的长度, 再乘以它们之间夹角的余弦, 即 v0 * v1 *cos(θ).

通过点积, 可以计算两个向量之间的夹角.

cos(θ)=v0.v1/ v0   v1 ;
θ=Math.acos(v0.v1/ v0   v1 );

如果两个向量都是单位向量, 上面的公式可以简化为

θ=Math.acos(v0.v1);

V0.v1=0 =》两个向量互相垂直

V0.v1>0 =》两个向量的夹角小于90度

V0.v1<0 =》两个向量的夹角大于90度

Irrlicht中的实现: (很简单的公式, 很直白的实现)

//! Get the dot product with another vector.
T dotProduct(const vector3d<T>& other) const
{
	return X*other.X + Y*other.Y + Z*other.Z;
}

DirectX中的实现:(很简单的公式, 也是很直白的实现)

D3DXINLINE FLOAT D3DXVec3Dot( CONST D3DXVECTOR3 *pV1, CONST D3DXVECTOR3 *pV2 )
{
#ifdef D3DX_DEBUG
	if(!pV1 || !pV2)
		return 0.0f;
#endif

	return pV1->x * pV2->x + pV1->y * pV2->y + pV1->z * pV2->z;
}

叉积(cross product): 也称向量积

叉积的结果是一个向量, 该向量垂直于相乘的两个向量.
公式:

注意:叉积不满足交换律, 反过来相乘得到的向量与原向量方向相反.

左手坐标系可以通过左手法则来确定叉积返回的向量的方向, 从第一个向量向第二个向量弯曲左手, 这是拇指所指的方向就是求得的向量的方向. 右手坐标系同样的, 可以通过右手法则来确定叉积返回的向量的方向, 从第一个向量向第二个向量弯曲右手, 这是拇指所指的方向就是求得的向量的方向. 因此, 事实上叉积获得的向量总是垂直于原来两个向量所在的平面.

如果两个向量方向相同或相反, 叉积结果将是一个零向量. (即a//b)

叉乘的一个重要应用就是求三角形的法向量.

Irrlicht的实现:

//! Calculates the cross product with another vector.
/** /param p Vector to multiply with.
	/return Crossproduct of this vector with p. */
vector3d<T> crossProduct(const vector3d<T>& p) const
{
	return vector3d<T>(Y * p.Z - Z * p.Y, Z * p.X - X * p.Z, X * p.Y - Y * p.X);
}

DirectX的实现:

D3DXINLINE D3DXVECTOR3* D3DXVec3Cross
	( D3DXVECTOR3 *pOut, CONST D3DXVECTOR3 *pV1, CONST D3DXVECTOR3 *pV2 )
{
	D3DXVECTOR3 v;

#ifdef D3DX_DEBUG
	if(!pOut || !pV1 || !pV2)
		return NULL;
#endif

	v.x = pV1->y * pV2->z - pV1->z * pV2->y;
	v.y = pV1->z * pV2->x - pV1->x * pV2->z;
	v.z = pV1->x * pV2->y - pV1->y * pV2->x;

	*pOut = v;
	return pOut;
}

基本上也就是按公式来了.

MATLAB中叉积用的是cross函数:

>> a = [2,2,1]

a =

     2     2     1

>> b= [4,5,3]

b =

     4     5     3

>> c = cross(a,b)

c =

     1    -2     2

作为最后一个概念, 这里用代码实践一下.

用代码实现上面MATLAB实现的求a=(2,2,1)和b=(4,5,3)的叉积.

Irrlicht版本:

#include <stdio.h>
#include <irrlicht.h>
using namespace irr::core;

int _tmain(int argc, _TCHAR* argv[])
{
    vector3df a(2.0f, 2.0f, 1.0f);
    vector3df b(4.0f, 5.0f, 3.0f);

    vector3df c = a.crossProduct(b);

    printf("c = (%f, %f, %f)", c.X, c.Y, c.Z);

    return 0;
}

输出:

c = (1.000000, -2.000000, 2.000000)

DirectX版本:

#include <stdio.h>
#include <d3dx9.h>

int _tmain(int argc, _TCHAR* argv[])
{
	D3DXVECTOR3 a(2.0f, 2.0f, 1.0f);
	D3DXVECTOR3 b(4.0f, 5.0f, 3.0f);

	D3DXVECTOR3 c;
	D3DXVec3Cross(&c, &a, &b);

	printf("c = (%f, %f, %f)", c.x, c.y, c.z);

	return 0;
}

输出:

c = (1.000000, -2.000000, 2.000000)

这里给出个较为完整的例子是希望大家了解一下Irrlicht这种C++风格的接口及DirectX的C风格接口使用上的不同, 这里就不对两种风格的接口提出更多评论了, 以防引起口水战.

下一篇预计讲矩阵的计算

参考资料:

  1. DirectX 9.0 3D游戏开发编程基础, (美)Frank D.Luna著, 段菲译, 清华大学出版社
  2. 大学数学 湖南大学数学与计量经济学院组编, 高等教育出版社
  3. 百度百科及wikipedia

修改记录

2015年10月, 将原来用Freemat及Ocatave实现的部分, 改为MATLAB, 原文使用Live Writer编写, 新改为Markdown格式.

分类:  编程 
标签:  向量  vector  数学 

Posted By 九天雁翎 at 九天雁翎的博客 on 2009年12月08日

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